ZT:量子信息讲座

自由的风

量子信息讲座
http://lqcc.ustc.edu.cn/cn/kp/qcomputer.htm （原文，有图）
第一讲   量子计算机

段路明   郭光灿

(中国科学技术大学物理系.合肥230026)

编者按    在人类即将跨入21世纪之际，信息科学面临着新的挑战。计算机是否存在极限的运算速度？能否实现不可破译、不可窃听的保密通信？诸如此类的问题一直是数学家和电子技术专家们关注的重要课题。近年来，物理学家加入这个研究行列，他们成功地将量子理论和信息科学结合起来，提出许多令人耳目一新的概念、原理和方法，于是“量子信息”作为新兴的学科分支便应运而生。当前量子计算机、量子通信和至于密码术等已经成为研究热点，并取得重要进展。本刊从本期开始将陆续刊登一组“量子信息”专题文章，介绍这个领域的动态和进展。

摘要   量子力学和计算机理论，这两个看起来互不相关的领域，其结合却产生了一门富于成效的学科：量子计算机。文章介绍了量子计算机的基本概念和历史背景，它相对于经典计算机的优越性，它的构造和实验方案，以及实现量子计算的困难及其克服途径，最后展望了量子计算机的发展前景。

关键词   量子计算机，量子图灵机，量子并行计算，消相干

QUANTUM COMPUTERS

Duan Luming   Guo Guangcan

(Department of Physics, University of Science and Technology of China. Hefei 230026)

Abstract   Quantum mechanics and computers are seemingly uncorrelated. but a combination of them yields a fruitful Subject: quantum computers. An introduction is given to the background, advantages, construction, and experimental schemes of quantum computers. Difficulties in realizing quantum computation are also mentioned togther with possible strategies for overcoming them.

Key words   quantum computers, quantum turing machine, quantum parallelism, decoherence

一、量子计算机的概念及发展背景

    1996年，美国《科学》周刊科技新闻中报道，量子计算机引起了计算机理论领域的革命。同年，量子计算机的先驱之一，Bennett在英国《自然》杂志新闻与评论栏声称，量子计算机将进入工程时代。目前，有关量子计算机的理论和实验正迅猛发展，那么，什么是量子计算机呢？

   量子计算机，顾名思义，就是实现量子计算的机器。要说清楚量子计算，首先看经典计算。经典计算机从物理上可以被描述为对输入信号序列按一定算法进行变换的机器，其算法由计算机的内部逻辑电路来实现。经典计算机具有如下特点：

    （1）其输入态和输出态都是经典信号，用量子力学的语言来描述，也即是:其输入态和输出态都是某一力学量的本征态。如输入二进制序列0110110，用量子记号，即|0110110＞。所有的输入态均相互正交。对经典计算机不可能输入如下叠加态：

C1|0110110 ＞＋ C2|1001001＞。

    （2）经典计算机内部的每一步变换都将正交态演化为正交态，而一般的量子变换没有这个性质，因此，经典计算机中的变换（或计算）只对应一类特殊集。

    相应于经典计算机的以上两个限制，量子计算机分别作了推广。量子计算机的输入用一个具有有限能级的量子系统来描述，如二能级系统（称为量子比特）,量子计算机的变换（即量子计算）包括所有可能的么正变换。因此量子计算机的特点为[1]:

    [1]量子计算机的输入态和输出态为一般的叠加态，其相互之间通常不正交；

    [2]量子计算机中的变换为所有可能的么正变换。得出输出态之后，量子计算机对输出态进行一定的测量，给出计算结果。

    由此可见，量子计算对经典计算作了极大的扩充，经典计算是一类特殊的量子计算。量子计算最本质的特征为量子叠加性和相干性。量子计算机对每一个叠加分量实现的变换相当于一种经典计算，所有这些经典计算同时完成，并按一定的概率振幅叠加起来，给出量子计算机的输出结果。这种计算称为量子并行计算。量子并行处理大大提高了量子计算机的效率，使得其可以完成经典计算机无法完成的工作，如一个很大的自然数的因子分解（后面将叙及）。量子相干性在所有的量子超快速算法中得到了本质性的利用[2]。

    量子计算机的概念源于对可逆计算机的研究，而研究可逆计算机是为了克服计算机中的能耗问题。早在六七十年代，人们就发现，能耗会导致计算机芯片的发热，影响芯片的集成度，从而限制了计算机的运行速度。Landauer[3]最早考虑了这个问题，他考察了能耗的来源，指出：能耗产生于计算过程中的不可逆操作。例如，对两比待的异或操作，因为只有一比特的输出，这一过程损失了一个自由度，因此是不可逆的，按照热力学，必然会产生一定的热量。但这种不可逆性是不是不可避免的呢？事实上，只要对异或门的操作如图1所示的简单改进，即保留一个无用的比特，该操作就变为可逆的。因此物理原理并没有限制能耗的下限，消除能耗的关键是将不可逆操作改造为可逆操作（见图1）。

图1 不可逆异或门改进为可逆异或门

    Bennett[4]后来更严格地考虑了此问题，并证明了，所有经典不可逆的计算机都可以改造为可逆计算机，而不影响其计算能力。

    经典计算机实际上就是一个通用图灵机。通用图灵机是计算机的抽象数学模型，它由两部分构成：

    [1]具有无限多个存储单元的记录带，每个存储单元内容的变化是有限的，通常用二进制的“O”和“1”来表示；

    [2]一个具有有限内态的读写头，每步操作中读写头可以在记录带上左移或右移一格或不动。图灵机在操作中，读写头根据其内态和当前存储单元的内容，按既定的规则，改变其内态和存储单元的内容。并决定下一步读写头的移动方向。

    上述图灵机的模型是不可逆的，例如，对如下图灵机操作“写存储单元--> 左移一格”，其逆就变成了“左移一格-->写存储单元”，该逆操作不再是一个有效的图灵机操作。但Bennett证明了一个基本结果：对所有不可逆的通用图灵机，都可以找到一个对应的可逆图灵机，使得两者具有完全相同的计算能力和计算效率。

    因为计算机中的每步操作都可以改造为可逆操作，在量子力学中，它就可以用一个么正变换来代表。Benioff[5]最早用量子力学来描述可逆计算机。在量子可逆计算机中，比特的载体成为二能级的量子体系，体系处于|0＞和|1＞上，但不处于它们的叠加态。量子可逆计算机的研究，其核心任务为，对应于具体的计算，寻找合适的哈密顿量来描述。

    早期的量子可逆计算机，实际上是用量子力学语言表述出来的经典计算机，它没有利用量子力学的本质特性，如量子叠加性和相干性。 Feymann首先指出[6]，这些量子特性可能在未来的量子计算机中起本质作用，如用来模拟量子系统。Deutsch[7]找到一类问题，对该类问题，量子计算机存在多项式算法(多项式算法指运算完成的时间与输入二进制数据的长度，即比特的位数存在多项式关系），而经典计算机则需要指数算法。但最具轰动性的结果却是Shor给出的关于大数因子分解的量子多项式算法[8]（见第三节），因为此问题在经典公钥体系中有重要应用。Shor的发现掀起了研究量子计算机的热潮，从此后，量子计算机的发展日新月异。

二、量子计算机的构造及实验方案

    正如经典计算机建立在通用图灵机基础之上，量子计算机亦可建立在量子图灵机基础上。量子图灵机可类比于经典计算机的概率运算。前一节提到的通用图灵机的操作是完全确定性的，用q代表当前读写头的状态，s代表当前存储单元内容，d取值为L,R,N,分别代表读写头左移、右移或不动，则在确定性算法中，当q,s给定时，下一步的状态q'，s'及读写头的运动d完全确定。我们也可以考虑概率算法，即当q,s给定时，图灵机以一定的概率（q,s,q,s”,d）变换到状态q',s'及实行运动d。概率函数(q,s,q',s',d）为取值[0,1]的实数，它完全决定了概率图灵机的性质。经典计算机理论证明，对解决某些问题，慨率算法比确定性算法更为有效。

    量子图灵机非常类似于上面描述的经典概率图灵机，现在q,s,q',s'相应地变成了量子态，而慨率函数（q,s,q',s',d）则变成了取值为复数的概率振幅函数x(q,s,q',s',d），量子图灵机的性质由概率振幅函数确定。正因为现在的运算结果不再按概率叠加，而是按概率振幅叠加，所以量子相干性在量子图灵机中起本质性的作用，这是实现量子并行计算的关键。

    量子计算机可以等效为一个量子图灵机。但量子图灵机是一个抽象的数学模型，如何在物理上构造出量子计算机呢？理论上已证明[9]，量子图灵机可以等价为一个量子逻辑电路，因此可以通过一些量子逻辑门的组合来构成量子计算机。量子逻辑门按其输入比特的个数可分为单比特、二比特、及三比特逻辑门等。

    因为量子逻辑门是可逆的，所以其输入和输出比特数相等。量子逻辑门对输入比特进行一个确定的幺正变换，得到输出比特。Deutsch[10]最早考虑了用量子逻辑门来为造计算机的问题，他发现，几乎所有的三比特量子逻辑门都是通用逻辑门。通用逻辑门的含义是指，通过该逻辑门的级联，可以以任意精度逼近任何一个么正操作。后来不少人发展了Deutsch的结果，最后Deutsch和Lloyd各自独立地证明[11]，几乎所有的二比特量子逻辑门都是通用的，这里“几乎”是指，二比特通用量子逻辑门的集合是所有二比特逻辑门的集合的一个稠密子集。

     实验上通常用一些具体的量子逻辑门来构造计算机。Barenco等人[12]证明，一个二比特的异或门和对一比特进行任意操作的门可构成一个通用量子门集。相对来说，单比特逻辑门在实验上比较容易实现，现在的不少实验方案都集中干制造量子异或门。量子异或门和经典异或门非常类似，它有2个输入比待：控制比特和受控比特。当控制比特处于|1＞态，即在上能级时，受控比特态发生反转。用记号C12代表量子异或操作，其中1，2分别代表控制和受控比特，则有

其中n1,n2取值 0或 1，表示模2加。已有的用来实现量子异或门的方案包括：利用原子和光腔的相互作用[13]；利用冷阱束缚离子[14]；或利用电子或核自旋共振[15]。在已实现的方案中，以冷阱束缚离子方案最为成功[16]，我们稍详细地介绍这一方案。

    在冷阱束缚离子计算机中，N个离子经激光冷却后，束缚到一个线性势阱或环形势阱中，每个离子的两个内态作为量子比特的载体。离子受到势阱束缚势和相互间库仑排斥势的作用，在平衡位置附近作微小振动，可用简正模描述，量子化后即用声子描述。其中频率最低的模称为质心模。每个离子可以用不同的激光束来控制，在激光束的作用下，离子内态和离子集体振动的元激发——声子发生相互耦合。通过声子传递相互作用，可实现任意两个比特之间的异或操作。类似的想法还可以用来实现多比特的量子逻辑门，但目前只有二比特的量子逻辑门得到了具体的实验证实。

    原子光腔方案也有实验报道。原子和光腔的相互作用是量子光学中比较成熟的实验，但此方案的弱点是不易级联，难以形成复杂的逻辑网络。Gershenfeld等最近指出[15]，利用宏观样品的自旋共振，经适当操作，也可以用来实现量子逻辑门，这种方案稳定性好，在理论上被认为很有前途。实验上，今年初美国的MIT和Los Alamos小组已实现了包含 3个量子比特的自旋系统，并成功地执行了1十l＝2的运算。

三、量子计算机的优越性及其应用

    与经典计算机相比，量子计算机最重要的优越性体现在量子并行计算上。因为量子并行处理，一些利用经典计算机只存在指数算法的问题，利用量子计算机却存在量子多项式算法，这方面最著名的一个例子当推Shor在1994年给出的关于大数因子分解的量子多项式算法。

    大数的因子分解是数学中的一个传统难题，现在人们普遍相信，大数的因子分解不存在经典的多项式算法，这一结果在密码学中有重要应用。密码学的一个新的方向是实现公钥体制。公钥体制中，加密密钥公开，可以像电话号码一样通知对方，而脱密密钥是保密的，这样仍然可以实现保密通信。公银体制的核心在于，从加密密钥不能导致脱密密钥，即它们之间不存在有效的算法。最著名的一个公钥系统由Rivet，Shamir和 Adleman提出，它的安全性就基于大数因子分解，因为对于经典计算机，后者不存在有效的多项式算法。但Shor却证明，利用量子计算机，可以在多项式时间内将大数分解，这一结果向RSA公钥系统的安全性提出严重挑战。

    Shor的算法的主要思想为，首先利用数论中的一些定理，将大数的因子分解转化为求一个函数的周期问题，而后者可以用量子快速傅里叶变换（FFT）在多项式步骤内完成。

    除了进行一些超快速计算外，量子计算机另一方面的重要用途是用来模拟量子系统。早在1982年，Feymann就猜测，量子计算机可以用来模拟一切局域量子系统，这一猜想，在1996年由 Lloyd证明为正确的[17]。首先得指出，模拟量子系统是经典计算机无法胜任的工作。作为一个简单的例子，考虑由40个自旋为1／2的粒子构成的一个量子系统，利用经典计算机来模拟，至少需要内存为240=106M，而计算其时间演化，就需要求一个 240 X 24O维矩阵的指数，这一般来讲，是无法完成的。而利用量子计算机，上述问题就变得轻而易举，只需要40个量子比特，就足以用来模拟。Lloyd进一步指出，大约需要几百至几千个量子比特，即可精确地模拟一些具有连续变量的量子系统，例如格点规范理论和一些量子引力模拟。这些结果表明，模拟量子系统的演化，很可能成为量子计算机的一个主要用途。

四、量子计算的困难及其克服途径

    量子计算的优越性主要体现在量子并行处理上，无论是量子并行计算还是量子模拟，都本质性地利用了量子相干性。失去了量子相干性，量子计算的优越性就消失殆尽。但不幸的是，在实际系统中，量子相干性却很难保持。消相干（即量子相干性的衰减）主要源于系统和外界环境的耦合。因为在量子计算机中，执行运算的量子比特不是一个孤立系统，它会与外部环境发生相互作用，其作用结果即导致消相干。Uruh定量分析了消相干效应，结果表明，量子相干性的指数衰减不可避免。 Unruh的分析揭示了消相干的严重性，这一结果无疑是对量子计算机的信奉者的当头一棒。

    因为量子计算机本质性地利用了量子相干性，相干性的丢失就会导致运算结果出错，这就是量子错误。除了消相干会不可避免地导致量子错误外，其他一些技术原因，例如量子门操作中的误差等，也会导致量子错误。因此，现在的关键问题就变成，在门操作和量子存储都有可能出错的前提下，如何进行可靠的量子运算？

    Shor在此方向取得一个本质性的进展，这就是量子纠错的思想[19]。量子纠错是经典纠错码的量子类比。在三四十年代，经典计算机刚提出时，也曾遇到类似的法难。当时就有人指出，计算机中，如果任一步门操作或存储发生错误，就会导致最后的运算结果面目全非，而在实际中，随机的出错总是不可避免的。经典计算机解决此问题，采取的是冗余编码方案。我们以最简单的重复码来说明其编码思想。如果输入1比特信号0，现在可通过引入冗余度将其编码为3比特信号000，如果在存储中，3比特中任一比特发生错误，如变成001，则可以通过比较这3比特信号，按照少数服从多数的原则，找到出错的比特，并将其纠正到正确信号000。这样虽然在操作中有一定的错误率。计算机仍然能进行可靠运算。 Shor的编码就是这种思想的量子类比，但在量子情况下，问题变得复杂得多。量子运算不再限制于态 |0＞和|1＞，而是二维态空间中的所有态，因此量子错误的自由度也就大得多。另一个更本质的原因为，量子力学中有个著名的量子态不可克隆定理[20]（我们将另撰文介绍），它指出，对一个任意的量子态进行复制是不可能的。因此对1个单比特输入态|＞，无法将其编码为3比特输入态|＞|＞|＞。这些困难表明，任何经典码的简单类比，在量子力学中是行不通的。但Shor却给出了一个完全新颖的编码，他利用9个量子比特来编码1比特信息，通过此编码，可纠正9个比特中任一比特所有可能的量子错误。（关于量子纠错更进一步的介绍，可参看后续文章（《量子编码》）。 Shor的结果极其振奋人心，在此基础上，各种量子纠错码接二连三地被提出。最新的结果（尚未出版）表明，在量子计算机中，只要门操作和线路传输中的错误率低于一定的阈值，就可以进行任意精度的量子计算。这些结果显示出，在通往量子计算的征途上，已经不存在任何原则性的障碍。

五、展望

    量子计算机的发展方兴未艾。纵观其发展过程，量子计算机研究中最突出的特点是物理学的原理和计算机科学的交融和相互促进。计算机不再是一个抽象的数学模型，物理原理对计算机计算能力和效率的限制愈来愈引起人们的重视。自从Shor提出大数的因子分解的量子算法后，基于量子并行处理的一些超快速算法接连地被发现，现在已形成一门新的研究领域：量子复杂性理论。另一方面，量子计算机中消相干的克服，在理论上和实验上都是人们最关注的问题，量予纠错方案被寄予高度厚望，在1996年，量子纠错理论成为研究中最热门的课题。

    与量子计算理论上的突飞猛进相比，量子计算机的实验方案还很初步。现在的实验只制备出单个的量子逻辑门，远未达到实现计算所需要的逻辑门网络。实验物理学家正在寻找更有效的制备途径，以克服消相干并实现逻辑门的级联。理论上虽然已提出各种量子纠错码，但在实验上如何利用量子编码来有效地克服消相干，这还是一个富于挑战性的问题。我们对此已进行了一系列研究（尚未出版），其目的是，根据量子计算机的具体物理模型，来寻找相应的最有效的消相干克服方案。总体来讲，实现量子计算，已经不存在原则性的困难。按照现在的发展速度，可以比较肯定地预计，在不远的将来，量子计算机一定会成为现实，虽然这中间还会有一段艰难而曲折的道路。

参考文献

[1] S.Lloyd, Science 26l(1993), 1569; S.Lloyd, Science, 263(1994), 695.

[2] D. DiVincenzo, Science, 270(1995), 255.

[3] R.bouer, IBM J. Res. Dev.,5(1961), l83.

[4] C.H.Bennett, IBM J. Res. Dev.,6(1973),525.

[5] P.Benioff, Phys. Rev. Lett., 48(1982), 1581.

[6] R.P.Feymann, Int. J. Theor. Phys., 21(1982),467.

[7] D.Deutsch, R. Jozsa, Proc. R. Soc. London A. 439(1992), 553.

[8] P.W.Shor, in Procedeeings of the 35th Annual Symposium of Foundation of Computer Science. (IEEE Computer Society, Los Alamitos, CA) l994, 124.

[9] A.Yao, in Procedings of the 34th Annual Symposium of Foundation of Computer Science. (IEEE Computer Society, Los Alamitos, CA), l993, 352.

[l0] D.Deutsch, Proc. R. Soc. London A, 425(l989), 73.

[ll] D.Deutsch, Proc. R. Soc. London A, 449 (1995),669,;S.Lloyd,Phys. Rev. Lett., 75(1995), 346.

[12] A.Barenco et al., Phys. Rev. Lett., 74(1995), 4083.

[13] T. Pallizari et al., Phys. Rev. Lett., 75(1995), 3788.

[14] J. Cirac, P. Zoller, Phys. Rev. Lett., 74(l995), 4091.

[15] N.A.Geshenfeld, I. L. Chuang, Science, 275 (1997),350.

[16] C.Monroe et al., Phys. Rev. Lett., 75(1995),47l4.

[17] S.Lloyd, Science, 273(1996), 1073.

[18] W.G.Unruh, Phys. Rev. A, 51(l995), 992.

[19] P.W.Shor, Phys. Rev. A, 52(1995), 2493.

[20] W.K.Wootters, W.H.Zurek, Nature, 299 (1982 ),802　

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自由的风

量子信息讲座
http://lqcc.ustc.edu.cn/cn/kp/qs.htm
第二讲  量子态的操纵和制备

郑仕标 郭光灿

(中国科学技术大学物理系．合肥230026）

摘要 介绍了操纵和制备光场、原子、囚禁离子各种量子态的基本方法和意义．并简要综述了这方面的进展情况．在量子信息科学中．量子态是信息的载体．量子态的操纵实质上是量子信息的操纵，因而它对于各件量子信息系统的实现有着极为重要的意义．

关键词 量子态，量子信息，量子纠缠

MANIPULATION AND PREPARATION OF QUANTUM STATES

Zheng Shibiao Guo Guangcan

(Department of Physics, University of Science and Technology of China. Hefei 230026 )

Abstract The fundamental principle and importance of manipulating and generating various quantum states of light fields, atoms, and trapped ions are described. Progress in this fie1d is briefly reviewed. From the view point of quantum information, quantum states are carriers of information, and thus the manipulation of quantum states is essentially a process of manipulating quantum information, which is critical to the realization of various quantum information systems.

Key word quantum states, quantum information, quantum entanglement

一、引言

    在宏观经典领域中，人们可以按照自己的意愿来设计各种经典系统，以实现特定的功能．在量子世界中，描述量子系统的是态函数，它具有几率幅的意义，态函数的演化遵从薛定谔方程．量子力学的这些待征在经典物理上没有对应的概念，因而我们不能完全采用宏观经典的手段来制备一个特定的量子态.

    另一方面，对各种量子态的操纵不仅在验证量子力学基本原理方面有重要的意义，而且在其他相关的领域也发挥着巨大的作用，尤其在量子信息领域更起着举足轻重的作用．在量子通信、量子计算机和量子密码术中，量子态是信息的载体，量子信息的加工处理归根到底是一种量子态的操纵过程。因此，人们期望按照自己的意愿实现对量子态的制备和操纵，以达到特定的目的，这就是所谓的量子态工程[1].下面，我们将分别具体介绍制备和操纵光场、原子以及囚禁离子质心运动的量子态的基本方法及意义。

二、光场量子态的制备

        作为信息载体的光场，其噪声限制着信息的传输和提取。在理想状况下，原则上可消除系统的全部经典噪声，已达到最大的信噪比。但即使这样，系统的信息功能仍然受到量子噪声的影响．这是由于光场本身不可避免地存在量子噪声（这是由量子力学的基本原理决定的）．相干态具有标准的量子极限的噪声．对于某一个信号，若它本身比这个标准的量子噪声更微弱，则它将被淹没在这个噪声中．因而，无法用相干态的光场探测这种信号．所以，寻找各种超低噪声光场成了一个引入关注的目标．这些光场在微弱信号的探测及光通信系统中都将显示出不可替代的优越性[2]。

    这种超低噪声光场也称为压缩态的光场：[3]．这些非经典光场的统计性质无法用经典的随机理论描述，它们的某个物理量的量子噪声低于标准极限的量子噪声．压缩态的光场可分为两类，即正交相位压缩和亚伯松分布的光场．对于正交相位压缩的光场，它的某一个正交相位幅度分量的起伏小于真空起伏；对于亚泊松分布的光场，亦即强度压缩的光场，它的强度起伏小于相干态光场的强度起伏。

    到目前为止，制备光场量子态的方法主要有两种．第一种方法是寻找一个适当的哈密顿量，使光场作一个特定的么正变换而演化到所期待的量子态．比如，让一束处于相干态|>的光通过一个克尔介质，选择适当的相互作用时间，则输出光为两个幅度相同、相位相反的相干态的叠加[4]，即

其中N为一归一化因子．|>是一个薛定谔猫态．虽然相干态本身是最接近经典的态，但由于叠加所引起的量子干涉效应使得这种猫态能够呈现出正交相位压缩和亚泊松分布等非经典性质：[5].在数学上，总可以找到一个适当的哈密顿量，使光场演化到一个特定的量子态．但在物理上能够实现的哈密顿量却很有限，因而这种方法有比较大的局限性．

    制备光场量子态的另一种方法是利用量子纠缠．两个子系统通过相互作用可发生纠缠，这是一个么正演化过程．这时对其中一个子系统进行探测，可使另一个子系统坍缩到一个特定的状态．这是一个波包坍缩过程，它是非么正的．这个方法大致又可分为两种类型：第一种是利用不同光场之间的相互作用，让输入信号光与探测光在克尔介质中相互作用并发生纠缠，然后对输出探测光的某一个正交相位分量[6]进行探测，可使输出信号光坍缩到某个非经典态上．另一种类型是利用Jaynes－Cummings模型：[7]．这是一个描述单个双能级原子与单模量子化光场相互作用的全量子化模型．不久前，Vogel等人[8]在Jaynes－Cummings模型的框架中提出了一个方案，以制备单模光场的福克叠加态．在此方案中，N个初始处于激发态与基态的叠加态的双能级原子，逐个地被注入到一个初始处于真空态的共振腔中．假定每个原子在经过相互作用后都被探测到处于基态，那么腔模将被制备到达如下的福克叠加态上：

    其中|n>为福克态，系数 Cm可由原子的初态的叠加系数来控制上述过程实质上是原子的相干性（量子信息）向光场转移的过程．由于量子态可近似展开为有限个福克态的叠加态，因此这种方法原则上可制备出任意量子态．当然这个方法必须进行很多次探测，因而成功的几率比较小。

    在上述方案中，原子与光场是共振的.当原子与光场的失谐量比较大时，原子与光场在相互作用过程中不交换能量．但是，这时光场的相位将受到调制．Brune等人[9]发现，将一系列的双能级原子注入一初始时处于一相干态的腔中，经过非共振相互作用后，对这些原子进行适当的探测，可以将腔场制备成为薛定谔猫态对Brune等人的方法进行推广，并借助一个幅度与相位都可调节的经典场，我们提出了一个方法[10]，可制备出权重因子可控制的猫态．

    除了标准的Jaynes－Cummings模型外，还有很多种推广的Jaynes－Cummings模型基于这些广义的Jaynes－Cummings模型，可以设计许多制备单模非经典光场的方案．利用受驱动Jaynes－Cummings模型，我们提出了一个方案，以制备位移福克态[11].我们还发现，利用非简并的双光子Jaynes－Cummings模型，可以制备相干态[12].

三、多原子最大纠缠态的制备

    量子非局域性是量子密码和量子计算等量子信息学科的基本原理．它指的是当两个量子系统处于一个纠缠态时，不管它们在空间分开多远都不能被看作相互独立的．它的证明对量子力学以及量子信息科学都具有重要意义．当两个自旋为1/2的粒子处于最大纠缠态时，Bell不等式[13]将被最大地违反，这意味着局域隐参量理论是不正确的．几年前，Greenberger等人[14]研究了另一种类型的最大纠缠态，亦即Greenberger－Horme－Zeilinger（GHZ）态．这种最大纠缠态包括三个以上的粒子．与两粒子的纠缠态不同，多粒子最大纠缠态对局域隐参量理论的违背不需借助Bell不等式，在实验中只要对各个粒子的自旋做一次适当的探测就可以了．

    一个双能级原子等同于一个自旋为1/2的粒子，而且对原子的探测效率可基本上达到100%．此外，原子在空间上容易分开．因此，如何将多个原子制备到最大纠缠态是一个十分有趣的课题．最近， Cirac等人[15]提出了一种方案，用以制备三个双能级原子的最大纠缠态：

其中|e>和|g>分别为原子的激发态与基态．这一方案是基于加Jaynes－Cummings模型的．在此方案中，一个单模腔场首先被制备到如下的福克叠加态：

然后，三个与腔模共振的双能级原子被逐个地注入到腔中．这些原子初始时都处于基态．对每个原子的速度作适当的选择，最后三个原子将被制备到GHZ态上，而腔模则处于真空态．上述过程实质上是光场的相干性（量子信息）向原于转移的过程．

    我们提出了另一种方案[16]来制备上述三原子的最大纠缠态．它是基于Raman型的Jaynes－ Cummings模型的、与文献[15]的方案相比，我们的方案有以下优点：首先，我们的方法只要求先将光场制备到|0>与|1>的叠加态，因而在实验上更容易实现．此外，我们利用了A型三能级原子的两个低能态之间的纠缠．这样，这些原子的自发发射可以得到很好的抑制．因此，系统的相干性可得到较好的保持．

    多原子纠缠态的任意操纵还是实现量子计算机的基础．因而，各种多原子纠缠态的制备与操纵对推动量子信息科学的发展有着重要的意义．此外，利用原子与光场量子态的制约关系还可构成一个量子逻辑门．这种门已在实验上得到实现[17]。

四、囚禁离子质心运动量子态的制备

    近来，人们在激光冷却与离子囚禁方面取得了很大的进展．一个被囚禁的离子可看作一个具有量子化质心运动的谐振子．当一个囚禁离子的内态受到经典激光场激发时，离子的动量也同时发生改变．这时，离子的内、外自由度发生耦合．当这个受囚禁的离子为双能级结构并且离子的振动幅度远小于驱动它的经典激光场的波长（Lamb－Dicke极限）时，离子的动力学可用Jaynes－Cummings模型描述，其中量子化的辐射场由量子化的质心运动取代．在这一模型中，离子内外自由度的耦合可通过调节经典激光场加以控制、这一系统的另外一个重要特征是离子的运动与外部环境的耦合很小，因此它的衰减可以忽略不计．

    囚禁离子的上述特征使得人们有可能通过调节经典场的参量（经典信息）来控制离子运动的量子态（量子信息）．近来，人们已提出了许多方案，以制备囚禁离子运动的各种量子态[18]．我们也提出了一个方案[19]以制备一囚禁离子运动的薛定谔猫态．与其他方案不同之处，在于我们能够制备出的猫态可包含多个成分，而且其中的权重因子可任意地控制．最近，薛定愕猫态、福克态以及压缩真空态等离子质心运动的各种非经典态已在实验上得到实现[20]．

    此外，利用囚禁离子的内政怕由度的互相制约，可构成量子计算网络[21]．目前，利用一个囚禁离子的内、外态分别作为受控与控制比特的两比特量子门已经在实验上得到实现[22]．

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自由的风

量子信息讲座
http://lqcc.ustc.edu.cn/cn/kp/qcode.htm
第三讲  量子编码

段路明  郭光灿

（中国科学技术大学物理系，非线性科学中心，合肥230026）

摘要  量子编码使信息论领域发生革命性进展，它是量子信息论的主要内容之一．文章介绍了量子编码的基本概念和发展背景，评述一些现有的量子编码方案，包括纠随机错和防合作错的量子码，并追踪量子编码定理的研究进展．
关键词  量子编码，量子纠错，集体消相干．量子编码定理


QUANTUM CODING

Duan Luming Guo Guangcan

(Department of Physics and Nonlinear Science center, University of Science and Technology of China, Hefei, 230026)

Abstract      Quantum coding has revolutionized the field of information theory. This paper explains the basic ideas of quantum coding and some existing quantum codes, including the random -- error -- correcting and cooperative -- error -- preventing cedes. We also trace the development of
quantum coding theorems.
Key words     Quantum coding, quantum error correction, collective decoherence, quantum coding theorems

1  量子编码的基本概念和提出背景

    现在利用计算机进行复杂运算时，我们不再为结果的可靠性担心．但是在计算机概念刚提出时，曾经有人提出如下反驳：在计算机这样一个复杂系统中，噪声是不可避免的，只要噪声使得计算机中任一部件发生一次错误，最后的运算结果都会变得面目全非，因此，利用计算机进行复杂运算是不可能的．这一困难后来是怎样克服的呢？编码在这过程中起了关键性的作用．什么是编码？编码，更准确地说，信道编码，指的是，通过引入冗余信息，使得在一部分比特发生错误的情况下，仍有可能按照一定的规则纠正这些错误，以实现无失真地传送和处理信息．举一个最简单的重复码为例，我们可以将信号 0编码为000信号1编码为111，这样如果最多只有一个比特发生错误，譬如，000变成了001，我们可以按照少数服从多数的原则，找出错误的比特（第三比特），并纠正该错误．

    以上是经典编码的基本概念，为什么要引进量子编码呢？这与量子信息论特别是量子计算机的发展有关．量子信息论中，信息的载体不再是经典比特，而是一个一般的二态量子体系．这二态量子体系，可以是一个二能级的原子或离子，也可以是一自旋为1／2的粒子或具有两个偏振方向的光子，所有这些体系，均称为量子比特．区别于经典比特，量子比特可以处于0，1两个本征态的任意叠加态，而且在对量子比特的操作过程中，两态的叠加振幅可以相互干涉，这就是所谓的量子相干性．已经发现，在量子信息论的各个领域，包括量子计算机、量子密码术和量子通信等，量子相干性都起着本质性的作用．可以说，量子信息论的所有优越性均来自于量子相干性．但不幸的是，因为环境的影响，量子相干性将不可避免地随时间指数衰减，这就是困扰整个量子信息论的消相干问题[1] ．消相干引起量子错误，量子编码的目的就是为了纠
正或防止这些量子错误．虽然量子编码和经典编码的基本想法类似，即要以合适的方式引进信息冗余，以提高信息的抗干扰能力，但量子码可不是经典码的简单推广．在量子情况下，编码存在着一些基本困难，表现在如下3方面:

    (1)经典编码中，为引入信息冗余，需要将单比特态复制到多比特上去．但在量子力学中，有个著名的量子态不可克隆定理（见续讲《量子克隆与量子复制》，禁止态的复制．
    (2)经典编码在纠错时，需要进行测量，以确定错误图样．在量子情况下，测量会引起态坍缩，从而破坏量子相干性．
    (3)经典码中的错误只有一种，即0，1之间的跃迁．而量子错误的自由度要大得多．对于一种确定的输入态，其输出态可以是二维空间中的任意态．因此，量子错误的种类为连续统．

    因为这些原因，量子纠铸比经典纠错困难得多．事实上，直到1995年底至1996年，Shor[2]和 Steane[3]才独立地提出了最初的两个量予纠错编码方案．量子纠错码通过一些巧妙的措施，克服了上面的3个困难，具体为:
    (1)为了不违背量子态不可克隆定理，量子编码时，单比特态不是被复制为多比特的直积态，而是编码为一较复杂的纠缠态．对于纯态而言，纠缠态即指不能表示为直积形式的态．通过编码为纠缠态，既引进了信息冗余，又没有违背量子力学的原理．
    (2)量子纠错在确定错误图样时，只进行部分测量．通过编码，可以使得不同的量错误对应于不同的正交空间，部分的量子测量（即只对一些附加量子比特，而不是对全部比待进行测量）使得态投影到某一正交空间．在此正交空间，信息位之间的量子相干性仍被保持，同时测量的结果又给出了量子错误图样．
    (3)量子错误的种类虽然为连续统，但人们发现，它可以表示为3种基本量子错误(对应于3个Pauli矩阵)的线性组合．只要纠正了这3种基本量子错，所有的量子错误都将得到纠正．自从发现了最初的两个量子编码方案，各种更高效的量子码已被相继提出、下面我们介绍两类最重要的量子编码，即纠随机错的量子码和防合作错的量子码．


2  量子编码方案

2.1 纠随机错的量子码


    通常所谓的量子纠错码即指纠随机错的量子码．各种量子纠诸方案，实际上都假定了发生量子错误的比特数是给定的，例如常见的有纠一位错的量子码．然而在实际情况下，所有的量子比特均经历消相干，因此每个比特都有可能出错，发生错误的比特数是不定的．于是一个自然的问题为，那种设计用来纠一位错或更多位错的量子码在实际中是否有效？此问题的答案是肯定的，分析表明[4]，只要量子比特独立地发生消相干(亦即各个比特随机地出错)，所有的量子纠错方案都会行之有效．这里可以给一个简单的说明，设在T时间内进行N次纠错操作，在两次纠错间隔中，比特的出错率正比于T／N．纠一位错后，其剩余错误率将正比于T2/N2，因此N次纠错后，系统的累计剩余错误率正比于NT2/N2．只要 N足够大，亦即两次纠错的时间间隔足够小，就可以使得系统的累计剩余错误率任意地小．

    Shor的第一个纠错方案为量子重复码[2],它利用9比特来编码1比特信息，可以纠正1位错．Shor的方案简单，而且与经典重复码有较直接的类比，但它的效率不高．事实上，Steane的编码方案[3]到对后来的量子纠错码影响更大．在该方案中,Steane提出了互补基的概念，给出了量子纠错一些一般性的描述，并具体构造了一个利用7比特来编码1比特纠 1位错的量子码．紧接着，Calderbank和Shor以及Steane提出了一个从经典纠错码构造量子纠错码的方法[5,6]，该方法建立在群论语言之上．纠1位错的最佳（效率最高）量子码也由两个小组独立地发现[7,8]，该方案利用 5比特来编码 1比特．纠多位错的量号码情况更复杂，迄今为止，只发现一些简单的纠多位错的量子码．现有的各种量子纠错码，都可以被统一在群论框架之下，该描述已由Gottesman和Calderbank等给出[9,10]．但利用现有的理论去构造新的量子纠错码,仍然是一件非常艰巨的工作，为了寻求更高效的量子码，人们往往需要逐步地摸索．


2．2防合作错的量子码


    前面已表明，量子纠错方案适合于纠随机量子错．但在实际中，量子比特有可能发生合作消相干，结果导致各个比特出错的概率相互关联，此即合作量子错．设计用来纠随机错的量子编码是否适合于纠合作量子错？这个问题还有待于解决．已有的研究可以肯定的一点是，对于克服合作消相干，利用纠随机错的量子码不是一种高效率的方案．事实上，已经发现更好的方案用来克服合作量子错[11,12]．有别于量子纠错编码，这些方案防错而不纠错，它们本质性地利用了量子比特消相干过程中的合作效应．
    Palma等和我们曾先后考察了2个比特或多个比特消相干和一般耗散过程中的合作效应[13,14]，其中一种理想情况，即集体消相干（完全合作消相干）最值得注意．集体消相干和独立消相干具有明显不同的特征，其中最重要的一点区别为，对于集体消相于，存在相干保持态．相干保持态是一类特殊的能完全保持量子相平性的输入态，它可以表示为某个力学童的1组本征态，该力学量的形式依赖于具体的消相干模型．在合作消相干克服方案中，相干保持态得到了本质性的利用．这些方案一般都先建立相干保持态，然后将量子比特的输入态编码为相干保持态．最近我们的研究结果表明，这一想法具有广泛的应用价值[12]．我们的方案基于量子比特的配对，配对的2个比特要求发生集体消相干，但不同对之间的量子比特既可以独立消相干，也可以合作消相干．对于量子比特对，存在相干保持态，从而可以将比特的一般输入态编码为比特对的相干保持态，以达到克服消相干的目的．相比于量子纠错编码，此方案具有适用范围广、效率高等特点．它只需要用2比特来编码1比特，而且该编码可以很简单地用量子控制非门来实现．该方案还可以进一步推广用来克服量子门操作中的消相干，这只需要用作用于比特对的量子逻辑门来取代作用于比特的量子逻辑门，我们证明，作用于比特对的量子逻辑门仍然可以构成一个通用量子门集．
    量子纠错编码假定了各个量子比将独立地发生消相干，另一方面，现有的几种合作消相干克服方案又利用了相干保持态，而相干保持态建立在某些童子比特发生集体消相干的假设之上．独立消相干和集体消相干显然都是一种理想情况，一个重要的问题是，对于具体的量子计算机，哪种假定更为合理？现在实验上已经提出几种量子计算机模型，对每种模型，都有多种噪声对消相干过程有贡献．我们最近的工作表明，不同噪声引起的消相干具有十分不同的特性：某些噪声引起独立消相干，另外一些噪声引起集体消相干或一般的合作消相干[15]；有的噪声随时间增长速度快，另一些噪声随时间增长速度慢[16]．为了使量子编码在实际中行之有效，有必要先根据具体的量子计算机和噪声模型，来分析其消相干特性．根据此特性，选择合适的量子纠错或防错编码，或者这两种方案的结合．我们的工作提供了这方面的一个启示，更多的问题还有待于进一步研究．


3 量子编码定理


    量子编码定理研究的目标是要寻找Shannon定理的量子对应．Shanon信源编码定理确定了任一信源给出的信息的最大压缩率，信道编码定理确定了信息在有噪信道中无失真地传输的最大速率，亦即信道容量．Shannon定理奠定了整个经典信息论的基础，对于量子信息论，是否存在类似的定理？能否引进信道容量的概念？如何发展有效的算法去计算量子信道容量？这些问题显然都是量子信息论中的基本问题．
    量子编码定理的研究实际上还要早于对量子编码方案的研究．早在1993年Schumacher就证明了一个比较初步的量子信源编码定理[17]，该证明后来经Jozsa和 Holevo的工作得到进一步的简化和推广．量子信源以概率发送密度算符为的量子态，表示信源的总密度算符．量子信源编码定理要回答的是，对于这样的量子系统，其信息最少可以用多少量子比特表征出来？ Schumacher的定理表明，如果所有均限制为纯态，以2为底的Von－Neumann熵确定了所需的最小量子比特数．熵是量子力学中的重要概念．Schumacher的定理揭示出，量子力学和信息论这两个看起来互不相关的学科，实际上却存在着内在的联系．Schumacher的定理后来经Holevo推广到为混合态的情况，此时相对Von－Neumann熵确定了所需的最小量子比特数．
    相比平信源编码定理，信道编码定理的证明要复杂和困难得多．首先要弄清楚的一点是，量子信道可以同时传送经典信息和量子信息．因此，对于一个给定的量子信息，既存在经典信息容量，又存在量子信息容量，这两者有时相差悬殊．为了说明这种区别，我们举一个简单的例子．考虑一个具有如下性质的信道，如果输入态在基底，下具有对角形式，该信道不影响传送的态；反之，如果输入态为一般的量子态，信道将完全破坏，之间的相干性，亦即使基底，下的非对角项消失，但保持对角项不变，此信道称为完全解相干信道．可以证明，该信道的经典信息容量为1，而量子信息容量为0，因为量子相干性在该信道中不能维持．
    量子信道编码定理的研究已经取得了很大进展．量子信道的经典信息容量已完全确定[18]，它可以用前面引入的相对Von－Neumann熵表示出来，其证明有点类似于量子信源编码定理的证明．量子信道的量子信息容量尚未完全解决，但也已经取得重要突破．Schumacher,Lloyd和 Nielsen等引入了相干信息的概念[19,20]，并证明，此概念可以作为经典交互信息的量子类比．利用相干信息，他们给出了量子信息容量的一个上限，此上限能否达到，目前还缺乏证明1)，但人们相信，通过合适的改进，该上限将给出量子信息容量．另外，当前还有一个迫切的问题是如何发展有效的算法去计算一般信道的量子信息容量．这些构成了进一步研究的课题．

4 展望


    量子编码是信息论领域一个激动人心的进展．一方面，通过量子编码，人们看到了克服消相干的希望，从而使得量子计算机和量子传输等可以从梦想变为现实．另一方面，量子编码定理是Shannon定理的量子推广，具有重要的理论意义．量子编码理论的研究将大大促进人们对量子力学和信息论这两门学科的理解．
    量子编码在1996年成为量子信息论领域最热门的课题，其发展的速度令人惊叹．但如前面指出的，其中遗留下来的问题也还很多．量子信息论尚未形成像经典信息论那样的宏伟框架，很多问题有待于进一步研究．

1)Lloyd给出了一个关于上限可达性的证明[20],但他的编码限于幺正编码，后来，Schumacher等指出(待发表)，Lloyd给出的上限有可能被突破。

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